Ejercicios al Tema No 3. La alcancía del saber se llena poco a poco con el estudio.

 

  1. Sea I un intervalo cerrado de números reales. Sea f : I ———→ R una función derivable con derivada | f´ ( x)|  < c para todo x en I. Usando el teorema del valor medio, probar que f es lipschitziana.
  2. Demostrar la equivalencia de las tres definiciones de continuidad dadas en el texto.
  3.  Probar que la  composición de dos funciones  lipschitzianas es lipschitziana.
  4. Probar que todo polinomio P( x) es una función continua de R en R.
  5. Probar que en un  espacio normado (M, ||  || ) , la función norma  ||  || : M ——→ R ,  x —→  || x ||  es una contracción débil.
  6. Probar que en un espacio métrico ( M, d), la función métrica d: M x M ——→ R , (x, y) —→ d( x, y) es una contracción débil.
  7. Si X es un espacio métrico, con la métrica discreta, entonces todos los conjuntos en X son abiertos ¿ Sabes como probar este hecho? Demuestre entonces que todas la funciones definidas sobre X son continuas.
  8. Probar que toda función continua f (a, b) ———→  (c, d) y biyectiva debe ser monótona.
  9. Sea M  un espacio métrico, a, b un puntos de M y f :  M  ———→  M, una función tal que envía la bola  cerrada con centro en a y radio r en la bola cerrada con centro en b y radio s, esto es : f (B[ b, r]) =  B ( b, s). Probar que f no puede ser continua.
  10. Probar que toda función lipschitziana es continua uniforme.
  11. Probar que si h : M ——→ N es una isometría biyectiva, entonces su inversa es también una isometría.
  12. Dar un ejemplo de una función continua y biyectiva, tal que su inversa no sea continua.
  13. Probar que toda curva del plano dada implícitamente por una ecuación  F( x, y) = 0, donde F es una función continua, es un subconjunto cerrado del plano.
  14. Calcule la norma de la aplicación lineal L : R2 ——→    R2 , dada por L ( x, y) = ( 5x + 10 y , 3x - 4y).
  15. Probar que si f : M ———→  N es un homeomorfismo, entonces su inversa es también un homeomorfismo.
  16. Probar que la composición de dos homeomorfismos es un homeomorfismo.
  17. ¿ Será cierto que toda aplicación lipschitziana f : M ———→  N , sobreyectiva es un homeomorfismo?
  18. Probar que la relación de homeomorfismo entre los espacios métricos es una relación de equivalencia.
  19. Probar que en un espacio normado, la bola abierta unitaria B (0, 1) es homeomorfa a todo el espacio.
  20. Probar que el espacio métrico de los números reales con la métrica usual,( R, d) es homeomorfo al intervalo (0, 1). Ayuda: Considere la función f ( x) = tan x.

Página Principal