UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.

ESCUELA BÁSICA DE INGENIERIA.

DEPARTAMENTO DE CÁLCULO.

CÁLCULO 10.*rrra

 

Ejercicios de rectas y cónicas

 

  1. Comprobar que los puntos (0,1), (3,5), (7,2) y (4,-2) son los vértices de un cuadrado.
  2. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(-2,-3), C(6,7) y D(-8,0); hallar las ecuaciones de sus lados.
  3. Comprobar que los cuatro puntos (2,2), (5,6), (9,9) y (6,5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
  4. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(0,3) y B(0,-3) es siempre igual a 8.
  5. Un punto se mueve de tal forma que su distancia al punto A(-1,2) es siempre el doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
  6. Un punto se mueve de tal forma que su distancia al punto A(2,-1) es siempre el doble de su distancia de la recta  x+2=0. Hallar e identificar la ecuación de su lugar geométrico.
  7. Determinar el valor de k, para que la recta  sea paralela a la recta .
  8. Determinar el valor de k, para que la recta  forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 5/2 unidades cuadradas.
  9. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 8. Hallar la ecuación de la recta, si forma con los ejes coordenados un triángulo de área 4.
  10. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas  y .
  11. En la ecuación , hallar el valor de k, de manera que la distancia de esa recta al punto A(2,-2) sea igual a 1.
  12. Encontrar el incentro del triángulo cuyos vértices están situados en los puntos A(1,-1), B(7,8) y C(4,3) (ayuda: el incentro es el punto de intersección de las  rectas bisectrices  de los ángulos interiores de un triángulo. El incentro equidista de los tres lados del triángulo).

Observación: conociendo el incentro de un triángulo se puede determinar la circunferencia inscrita en él.

  1. Usar el incentro para encontrar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos vértices están en los puntos A(0,1), B(4,-3) y C(2,2).
  2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta  es siempre igual a la mitad de su distancia del eje y.
  3. Una recta pasa por el punto A(2,4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Hallar su ecuación.
  4. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son ,  y . Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita en él.
  5. La ecuación de una circunferencia es . El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto M(-2,4). Hallar la ecuación de esta cuerda (ayuda: una cuerda de una circunferencia es un segmento cuyos extremos están sobre dicha circunferencia).
  6. Determinar el valor de la constante k para que la recta  sea tangente a la circunferencia .
  7. Una cuerda de la parábola  es un segmento de la recta . Hallar su longitud.
  8. Encontrar el ángulo formado por las rectas que pasan por los extremos del lado recto de una parábola y el punto de intersección del eje focal con la recta directriz.
  9. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta  es siempre 2 unidades mayor que su distancia del punto (1,1).rrra
  10. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es constante e igual a 14.  Hallar una fórmula que describa el área de los triángulos rectángulos que se pueden formar con esta característica en términos de su base.
  11. Determinar la ecuación del arco parabólico cuyo claro o luz es de 12 metros y cuya altura es de 6 metros.
  12. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150m y la depresión de 20m.
  13. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto , tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de su eje menor.
  14. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos A(-3,3), B(-1,4),      C(0,3-√3/2) y D(1,3) y tiene sus ejes paralelos a los coordenados.
  15. Hallar los radios vectores del punto , que está sobre la elipse  (ayuda: los radios vectores son los segmentos que unen un punto de la elipse con los focos de la misma).
  16. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un  punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto A(0,-2).
  17. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos A(0,0) y B(6,0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de tal manera que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a 4.
  18. Hallar los puntos de intersección de la recta con las asíntotas de la hipérbola .
  19. Comprobar que la elipse  y la hipérbola   son ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.
  20. Calcular los puntos de intersección entre las elipses  y .
  21. Calcular los puntos donde se interceptan la recta  y la parábola .rrra