UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
ESCUELA BÁSICA DE INGENIERIA.
DEPARTAMENTO DE CÁLCULO.
CÁLCULO 10.*
Ejercicios de rectas y cónicas
- Comprobar que los puntos (0,1), (3,5), (7,2) y
(4,-2) son los vértices de un cuadrado.
- Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0),
B(-2,-3), C(6,7) y D(-8,0); hallar las ecuaciones de sus lados.
- Comprobar que los cuatro puntos (2,2), (5,6), (9,9)
y (6,5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares
y se cortan en su punto medio.
- Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto
que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos
A(0,3) y B(0,-3) es siempre igual a 8.
- Un punto se mueve de tal forma que su distancia al
punto A(-1,2) es siempre el doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de su lugar
geométrico.
- Un punto se mueve de tal forma que su distancia al
punto A(2,-1) es siempre el doble de su distancia de la recta x+2=0.
Hallar e identificar la ecuación de su lugar geométrico.
- Determinar el valor de k, para que la recta sea paralela a la
recta .
- Determinar el valor de k, para que la recta forme con los
ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 5/2 unidades
cuadradas.
- La suma de los segmentos que una recta determina
sobre los ejes coordenados es igual a 8. Hallar la ecuación de la recta,
si forma con los ejes coordenados un triángulo de área 4.
- Hallar la distancia comprendida entre las rectas
paralelas y .
- En la ecuación , hallar el valor de k, de manera que la distancia de
esa recta al punto A(2,-2) sea igual a 1.
- Encontrar el incentro del triángulo cuyos vértices
están situados en los puntos A(1,-1), B(7,8) y C(4,3) (ayuda: el incentro
es el punto de intersección de las
rectas bisectrices de los
ángulos interiores de un triángulo. El incentro equidista de los tres
lados del triángulo).
Observación: conociendo el
incentro de un triángulo se puede determinar la circunferencia inscrita en él.
- Usar el incentro para encontrar la ecuación de la
circunferencia inscrita en el triángulo cuyos vértices están en los puntos
A(0,1), B(4,-3) y C(2,2).
- Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto
que se mueve de tal manera que su distancia de la recta es siempre igual
a la mitad de su distancia del eje y.
- Una recta pasa por el punto A(2,4/3) y forma con
los ejes coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Hallar su
ecuación.
- Las ecuaciones de los lados de un triángulo son , y . Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita
en él.
- La ecuación de una circunferencia es . El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es
el punto M(-2,4). Hallar la ecuación de esta cuerda (ayuda: una cuerda de
una circunferencia es un segmento cuyos extremos están sobre dicha
circunferencia).
- Determinar el valor de la constante k para que la recta sea tangente a la
circunferencia .
- Una cuerda de la parábola es un segmento de
la recta . Hallar su longitud.
- Encontrar el ángulo formado por las rectas que
pasan por los extremos del lado recto de una parábola y el punto de
intersección del eje focal con la recta directriz.
- Hallar e identificar la ecuación del lugar
geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la
recta es siempre 2
unidades mayor que su distancia del punto (1,1).
- La suma de los catetos de un triángulo rectángulo
es constante e igual a 14. Hallar
una fórmula que describa el área de los triángulos rectángulos que se
pueden formar con esta característica en términos de su base.
- Determinar la ecuación del arco parabólico cuyo
claro o luz es de 12
metros y cuya altura es de 6 metros.
- Determinar la ecuación del arco parabólico formado
por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150m
y la depresión de 20m.
- Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el
punto , tiene su centro en el origen, su eje menor coincide
con el eje x y la longitud de su
eje mayor es el doble de su eje menor.
- Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los
puntos A(-3,3), B(-1,4),
C(0,3-√3/2) y D(1,3) y tiene sus ejes paralelos a los
coordenados.
- Hallar los radios vectores del punto , que está sobre la elipse (ayuda: los
radios vectores son los segmentos que unen un punto de la elipse con los
focos de la misma).
- Hallar e identificar la ecuación del lugar
geométrico de un punto que se mueve
de tal manera que su distancia de la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto
A(0,-2).
- La base de un triángulo es de longitud fija, siendo
sus extremos los puntos A(0,0) y B(6,0). Hallar e identificar la ecuación
del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de tal manera que el
producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a
4.
- Hallar los puntos de intersección de la recta con las asíntotas de la hipérbola .
- Comprobar que la elipse y la
hipérbola son ortogonales
entre sí en sus puntos de intersección.
- Calcular los puntos de intersección entre las
elipses y .
- Calcular los puntos donde se interceptan la recta y la parábola .