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Supongamos que se satisface los supuestos anteriores, Sea  x  , y   la solución del problema I , entonces u  U  x  , y   , en este caso  x  , y   es la solución del problema II. Theorem La minimización del gasto implica la maximización de la utilidad. Supongamos que se satisfacen los supuestos anteriores y que el par x  , y   es la solución al problema II. Sea m  P x x  P y y y supongamos que m  0. En este caso, x  , y  , es la solución del problema I. Consideremos el problema de maximización del bienestar formulemos el Lagrange. Lx, y   U  x, y     P x x  P y y  m   Lx , y  x  0   Ux , y  x   P x  0   Lx , y  y  0   Ux , y  y   P y  0  Lx , y    0   P x x  P y y  m  0  Ux, y   x   P x  0  Ux, y   y   P y  0  P x x  P y y  m  0 Notese que    U  x,y   x P x  UMaS x P x   U  x,y   y P y  UMaS y P y a su vez vemos que UMaS x UMaS y  P x P y El cuociente del primer miembro es la relación marginal de sustitución entre bienes (RMS) o tasa marginal de sustitución (TMS) y el segundo miembro es la relación de precios o costo de oportunidad, estas son relaciones de equilibrio, en caso de no cumplirse la igualdad no se esta maximizando (ver Varian, Análisis... pp119,135). Si sustituimos la solución obtenida en la función de utilidad obtenemos la función indirecta de utilidad. x   x  P x , P y , m  , y   y  P x , P y , m  U  x  P x , P y , m  , y  P x , P y , m   V  P x , P y , m  36xYilUE>B tek@* hF#.(F#& &*Fk%Qb4.KwN/hb|3}-ssDsE$olH#"YE1tz,dp{l@7* 2E.VH"$/)rc{#biW7+ydx`xb̙197a P{`8 \ 3 }I^hMz҇M|Asf }f߳q-}׸\ۤ[;E2ӿf {kk@kQƝldoߘ1@s|y~Qy3zYGƪqj)C}=^gC:/ߘI/ﶽN_d?ڡɠs"vXB͎^5Wkt{Xk2V|WSgaym;v̕'x̿'}*8к2{'OGU/Dq"K.Yď㟸q +WVp+[;<h>c7LkkFOXqr߅q*P;8\ lJuxBDh{PbVb?Pl!hSTv΋0/ȮmThstSϻʏt`l7?s)AE .Œ5纜 PUE mHQ+1ƨ rgy9խHn1-/1Z~cmޙ֏\ٟR j`sBn5Cp͙7epwtaIko嶿zʃ}D|!DヌAz j\)JW"6 (Š_5֮{=k=B.;Cu{־V=z x(}~?xo_h*14[^ FS<(3hh&猑WN1|?(q4isŜ$9䯗½ݛ<]Z PI8\6k{4yK x޷(_FѱQGNXᄁ}w|w?g>/{:72wmt_t]l-⟸q +WR-+W Microsoft Office Document Image Writer 11.03.1897.00 2006:10:15 16:27:13  |, d,l,t,(16@2L@/ ,0821x7{x} Taf$:>B .(舀TD(Ȣ434- "*.% EAA\pI"qI>hDąKDcow՝cu՝<C]=KsԹk%hE"=^m| T-{ r4|%5|gdQ%2T$#$҈@#DulN?Eg&˯ l?E/i|ɂQ >;þl#6HfMk[n;w"K7tΟ\;?0P9"vQ٬iuh+!G:y>>F#YFA&2.\#59-ؿFJwRl}?Fȧ>iNUmM oo:,/gclc7.Xv J`mͶ~UfblcO7lQW+zOZGƶۇZ"iQ̟fe:`cŊҭ[7۷ S9t)KA{-겣DQ?M;n/Ȁ حH]$_$ot $hDs$z} ۳H.O(g_%DsIt=:^d݋daR7Xml'\]"DZY*_]0ٴ  e}SJDfn'K/_,7@hzҹ_yJ;9DTF-/_Q{"Eˋy!U0 v%24$.ю2*%YHn@)gNK)9TNimA0(4(2C0<,CGe\\!KOxR|)UD}WvEJjB "{׈ H"Bt^I#9Hj^w#HOkVJNW$dXFro"H^I/9J1_qDFjɥ#qd$Kvn$kWFr4P\Efd'A\H^ɛUU$-`NwD?.Wdʩʙ+'ɂW+˦/wc'dܓdֲdѳ˪wz}N'-ʗIs6])g 7?'{|uEXw)l؈~p=mcCO{鋖}SLE澿ǚev,;7˗r>vܻlWO׃vb#Ke첥{\w;o#hqZG{[1o52Cf.|iTc ь@74B:2rwrY(F8%mWS&qUr]taܴv>! hm|f"L>6p/]l |r9M=+뿊VZ#:[ok|(wrsœ-O咹E8nTpz._πȋ:Ψܽd!nj}ݲc:;#n\X_Η[67{\l[]:*͚ Q+31·{q&b gf}uC5 yXa$45&i|0E<-:G3^_35ҝmѧ'AwL[ =kK'>?E]zO:Sqrr8`./%N 0'r>!:_b:CL[Y}0wz|sh}|t.>ۓv]-ݖF_vnIc1:'uGԓ|ǽky1f9Tַ_y:~MkSqu׭nz[u|OqfOx~yEPj|ICuϖnhkpna'[[)϶6T)zj<'O?:Hس>ă-86bFu{f6玵pyoHk~a fC~ܳdwIsɮ~8>y~⪟|{s867mcBڟsj}V bS}x}ktlk^vWIJx꼨7= 񑶿O!8|BͿu|tZO U!4B1kϱQh`|Fxl[zhگCd?te[磷zbPzB6Ӕ#6>>ĒOOPOs*k08뮼 ͵jcݶ\l*ӐlX ާCUEo ˷)SJU>΃ék_ƅyTӀ־onl~Kql9Ta O3g28-)**][WM>`l|` ͷ a([K\+VOt!Hi9_CQ>s;*jt>4mҚ慳5 b@ӄrJ;T@hhomHMHt $ м'4/pY{@畑'j}̗dj5S:>8vf'SmoV7#f;ȩΖ{[ۉZӟgjz;;5 ފߍ 8 44m/M!>HOys{ J\k5K}zgvjHWP֦b5W׹n2\]+{Oqhw&>LX+^ 7<6 , w,xuVhOF%߈˄`opxĉ{|/Lgtc|LqXkJפjq`RO[o{̈-dlc>o U_+:4J} gY8`l}`PSgv0&9Tw@s:u{s8hei4~gIB yN`]ӄj5Ƒ3nՍR ")GЅl]Pg+_!n&nCt@:XӠi!5cwlkCǐ =-Sik8} C!i9is8 x}P]@mAnڧ:Ɨ% 2&<}Ǎqz?@R'oL7LgbP%o^uu|b< gIkq'x1׆R̃pZgs}3Jo CzV(=OODEd]@~enp-&>'y6Hc ƺf^ؗ Le_!fɓs g{I l}Uܿ 7b(MqÇ-k#C'㛦LmsO0 ɷvY# '|{rcx3 N>0 '5662OM JNY8 AW *Ѐ"ӇMU5Y,5qElw68>γWc&MNO@sZȗyC@_~oq̻!\?c z).q&\{к9*]FmsTY֤p63jUWHWw.KZ@?8KC-ֿc'ZEO&TWޢi`-GXƑ+4P4[[84Z7 X&ȩښnqoH=A-TW<^HNHhBueq֕=`r4m 4cw!^Fд5Wk9N?C @0㣳q}/M0S?M(B~ZPLU'Єt2A7m7bݜ '۽ 4xqSH_둛 7ٚH1_=i܌q<4>޶![Y7u+y &ɦN78@X,̙u`ByVʞjppAtM}u:waxc 5$S{@Wמ&qSTe&_[#z7kctՀ_!nmԐm̞8ΕM !GSSWY.z$tҺu|oOfm5OXpu+qXh hN E1Y}S?7O'뺹'ߡ>GRNs:2F28_LĽcghKH{EMc'TVc{ ק{|vOp6*Ø\SmkpX^^cYX۝stsЏ:dfι 뷞^78L/M%oinWDRM|.1IWSݷE`}J'^$ge망"O_qY fܙAra/\0&xk`̐hsk7٩D:| *Nz _bL޾>NBIb}Vgp>n^$O_rҬּNv,sz|iQMsaP$7WN 4>'SPW#ҹbA<&`a`}v H_·(ӎ) 'nW&DM/}V 큱b1XjåǠpq{ y 9Y?f|?|?!#ڳ:nB=#8:0^44컥iNZ;VBo4XgBU(ʷ1FYiN~?Њi!rlL8)_rl}LdžhGNh]i9:&>&4HѾv{L8O_mk>g5~i2iȿ;BBm 1۸ / о*tNӠ_:޳r~iit i9iG!y<8k-gU!ݟW5 ?!mF[+Ich:xw,< h7\5K:_q >y Gȕ1ӧ>9@&rBc+<c^% 4:S4cun͵?W)ԟМq ElLhЇ|ǖ/u|81Al`j}!jaonp?ad͛cusV\\hC W dfy9z{ccM~rvD^ C5#'4N4Cc*~V:%ԟXR8qǚ SǾ߁\Z|O7d1xbN%Kv>s_ Dc lc9o&+Pz佱|:}q 0`a-h͙|odϻ{k]C!_M !0}9@% q<sȯZ^~]g/A7E5~;1wX vp}e5lommG!M+t<M[Ƀ NsWNl;kۅr{x1m:ЄNaL|ۭ[n$hB P5hj; .Iwewnvָ4m?&dP }ڛrBN]9c:Q﷾rkсpL_yu٠t\%qP#Esi8<~1cp> cpc@C!4{O4 8-6Cw>g)s[RO-wK0Or La<2$A>m圖c՚[ {=`ycݵ].y|y cB]y1qAFŬ!NPp#ꏒpp(}Z?Ozp e4Xl;'c`<ϼu<Շ, >/pzlp>5lc~5q+kM_>I~>}+ƹ7Wёwf_auS'+qpw4@Y7U?ctc9eʯF\lU}v`}ȳqMX}vގ;>BoR;"Ƿ}bpD54p]Smp>T" K[\3OL#_c&`1B>=/ϗnm$b~xgy)QsxwES6y[SZiϕѧ7q1$ܻ{;`}qL^N|/9ys;ך=_ 'ړc@{:B?'w$Io:듛o/Ð|"||<9F!ڊ68 #7:O'ٖ:L28_ ꗝF sty6HoLT c> \B=+Gc[>sR>=G6,88?/ܺ"528_2чϖ%xdǖw;߆N+o5ӛ"^xaC]/#|O]H3;Zx.0X_Ddju<l W='p.:9éysRWe?d–|z%oCs!~T[AG76w]1D\k"gS;B<O/48߼_Mğϳ0H%g}vlpB*Ǐg.?\x9C>t9UK|d~Бv v@+G-!i5Koc,=mқhhOKwRhJ1.bGе,1!3)eX8a\iL6;m8urh9nonlu{B8 趮@t| BѺAb[ۮ ٍ9Z_nG'4+9viciA=5nLCyY,_up9 *3 Η>C|C f>|ʾ.58_>Sv"km' :Oy҉m8E'̕w=O{ D,ǃk'@]2&]K;;me3-{?C~B!;ЯHZި?߅ XV$4p-> G-G{X\(3\!Vƺ>S k^8[ħY  ׾xv=GAO5Xc7GlПelҳn[[ReF>ycs0â^ Ob?w`ocA^$O/ x<0#7*tೄCDoڐ_kC*ӹ昑A0؀MHVGShPw 8ZoO~>6@KϜA9a7svSwq% Eǎz3uy xϓ#Jy8c!c}=~5b}>4WxNaܚx_tHO3s!>qagO~ep=8]PpbHa 8=H>Y e I kUJ鴅g'BdWhq`O[}m=lcϝ|־s~?,L?)brYͫ fk)hC1g'{LA;Qo ֧/'1ϕG,R]ap>U?WĻ S.*А;MΗ('}Z1F/F?˽>lpy?Src O 3wAH7z5o5<֍ZBrB=@8⚿U`][(\y!b9n>]8bWn?W& gnMH%t{+&_h?5- Bz`pP#g?b{@~uSHoښl|s{t><} OUSW9B:^LyU%5Fl /~Y=99Χomlɣor6f14~Ήi,FHy}i<۟;4'l6gg&7hb9&նF2G_C=\_i?T4giCkm"-{!9z._ ZnkڿZGtӱWt{:ANp>@ݴOnt3!H=85֭qm{iGP\iBq=P\kݴX/k^iB3@ݴHϵ 4!xFnL!t(hBq{b'vt\#ޡgc;{t~od"ozMvqtcA6y3t3 7-d M&{W 鱠u s P'Qc,B5=юir4=f~@XhBcF7T}  Sي'O4M6<4!꼣c9@Stպ] 'M 4sqP=Pv,~ s l3u~q91q FM-{'jGNȿ|8{! 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(2) La elección maximizadora: x   x  P x , P y , m  , y   y  P x , P y , m  ; es independiente de la función de utilidad que se emplee ya que las preferencias son invariantes a las transformaciones monótonas. (3) El conjunto óptimo de elección es “ homogeneo de grado cero ” en los precios y la renta ya que si multiplicamos todos los precios y la renta por una constante positiva, no alteramos el conjunto de elección . (4) De acuerdo al supuesto de insaciabilidad local ( “ más es preferido a menos ” ), una cesta (x  ,y  ) maximizadora de la utilidad debe cumplir la restricción presepuestaria con igualdad (PX  m) Veamos ahora el problema de minimización del gasto para ello formulemos el Lagrange Z  x, y   P x x  P y y   U  x, y   u   Z  x , y   x  0     U x  P x   0, Solution is :   P x U x  Z  x , y   y  0     U y  P y   0, Solution is :   P y U y  Z  x , y     0  U  x, y   u  0, Solution is : u  U  x, y   Como   P x U x    P y U y  1   P x P y  U x U y P x P y  U x U y De aqui que la elección de la cesta (x  ,y  ) minimizadora del gasto debe encontrarse en el punto de tangencia de la recta presupuestaria y la curva de indiferencia que genera el maximo nivel de utilidad o bienestar. Como este es el mismo punto de elección que maximiza la utilidad de nuestro problema inicial, el problema dual de minimización del gasto genera las mismas cantidades de demanda que se obtienen en el problema inicial, pero las funciones de demandas son compensadas o hicksianas. Definition Una curva de demanda compensada muestra la relación entre el precio del bien (p) y la cantidad comprada suponiendo que los otros precios y la utilidad se mantienen contantes. La curva de demanda compensada x  | U  fija  h x  P x , P y , u  resuelve el problema de minimizar el gasto para mantenerse en el nivel de utilidad fijado.{ Min XP; s.a. u-U(X)  0}, por tanto h x muestra como varia la cantidad demandada x cuando varia su precio (P x ) manteniendose constante los otros precios (P y ) y la utilidad (u), es decir, “ compensa ” la renta del individuo para mantener constante la utilidad. Por lo tanto, h x sólo refleja los efectos sustitución de las variaciones de los precios. Si sustituimos la solución obtenida y  h y  P x , P y , u  , x  h x  P x , P y , u  de las curvas de demanda compensada en la función objetivo P x x  P y y  y  h y  P x , P y , u  , x  h x  P x , P y , u   P x  h x  P x , P y , u   P y h y  P x , P y , u    G  P y , P x , u  Obtenemos la función de gasto. UxkpUM 'I0Ϧ}^cSI=Bߕ8Qi CEɔnijxw >3$.&'>U筊H׎=c s[:#B W+~3`c:/˛j_M)RJ!p~$r8D3yˁk)O-\E~?Vn_jjo<4+8t׭48@st' ߩ@yLg wWI97(Q{ui[Cs-"^d 9rpN g$:ãS}w'$eJ>.-;ߌ ꫐]3k1m;sxpvTE\aw9x9yw8klw'ȩGmѷݷK6K1o/6wq(Wg ߿_v.ŭU]q>P|v̈xwQU<[S'C~ ]ꮿ4SIY7NNwB!rF°Pa,+=5[ Éߘ}3x.ək/Gۋy> mg<|/w4佞d]㯆y~6NeV,ko"y|{|c>lRL>WRgǵ`&bgrPG`{4T&^>>>7lӚYg˗I%J|kOƺ]]9AvJ݉_u`o)#̍m:kKK9K򢾗6QS^$?wu+gBێm=U}r7'π/W=\5oO%_3Yg^]bbq<1ՙAD%Xg`?#ɵIߧ5;PrkpsuNυ> V(\{ԖM޷}D )>]d]SB{g_y>q?ɺG?)))))))))))2{]zUց>ЀZ*PojzS4^A@`Ru`)>P> rj^lv \;._Y?WٝInNf&L)Кy X 4O<\ x?o.jLrڃ2[b-߿ (rsF ʅ`8Kt ?'ŦeK?@j@3w$xgbPoΦ~ TW)e|+@{3Vv>}WS.-6 G tȆFPQ曷@{9(V'"޻Pauoh~9ԫ#N.xc@].Π%bgP Cō[>)WxŽ.fMٶ$|e@o͘;Rp^ynJVz2ɝ(9 -Ydqљ>K'sZJb7p<ckV{&k~'@Lwa\p4(=i7}~(ddͧS Ho'_PQ^\)\WݲK+{UW|kEm1P,UGc.̰8EwKq( sqKP03iاc]Y}/;?gn<Ԟ?U*^]ӷVcn 7vߡ \!}YZp;W>kmėWwWwW|0Ps(Ucr?Y ݷLr-/xrn!ҷW=OWRRRRRRRRRRR$ +韔"CMicrosoft Office Document Image Writer 11.03.1897.00 2006:10:15 16:27:13  HxJA 68x@x(162Ԗ/6Nx1 {x} Tՙ mA4 46"2MPB]@aoE[ h(F%> Q`!. 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Esta sencilla observación nos lleva a cuatro importantes identidades : 1. G  p, V  p, m   m. El gasto mínimo necesario para alcanzar la utilidad V  p, m  es m 2. V  p, G  p, u   u. La utilidad máxima generada por la renta G  p, u  es u. 3. x i  p, m   h i  p, V  p, m  La demanda marshalliana correspondiente al nivel de renta m es idéntica a la demanda hicksiana correspondiente al nivel de utilidad V  p, m  . 4. h i  p, u   x i  p, G  p, u  La demanda hicksiana correspondiente al nivel de utilidad u es idéntica a la demanda marshalliana correspondiente al nivel de renta G  p, u  Dualidad Dualidad 0 : . ) ( max ) , ( 0     px m Sa X U m p V X 0 ) ( : . min ) , ( 0     u X U Sa pX u p e X ) , ( n Marshallia Demand m p X X  ) , ( Hicksians Demand u p h h  )) , ( ( ) , ( Utilidad Ind. Fun. m p X U m p V  ) , ( * ) , ( expend Fun. u p h p u p e  m m p V p m p V m p X i i       ) , ( ) , ( ) , ( Lemma Roy´s i i p u p e u p h    ) , ( ) , ( Lemma s Hotelling´ Inversa Sustituci ó n Fijos (p,m) Fijos (p,u) Problema Dual (x}lUwǿvЖB+˥H cU`263,Q.fBW.n"Y-{AefbjNcA{~{N{7$)y~o{([(h;ӓHˋټmei//p lqzr1fWS^K RfP7If>ycTm(mY`{oǞˌ=:ܠuE\gt]z9WϸR\v۩@yn`z`+\A| boI9ۑ ՠ ;/x,bXO{g\{oO,W=X Pg>נDjRM$s dMlOo+,NduY ?OtSA{2g9ځܲ lO3s䶜ycߞSGƻedN+fX=ƃ GprWQImz9Ԛ7˟Q^-mJ(ϽM\>敩Ǖ#CZe$MZ0JԢ2}ݵQvͺޛ ] W]أpP?Qp~xo+ra#؛|bO'FIx*gVO9}>S5ٷ3}v')?o~Rr%(cOxg `tjZJANpx7v+q"wmw*ݎ mciKwpNl_'15ju:4]Cyf6?oT Z%ojcg3},?%_v7ϩ?P=BMja?H}v889{F3pp3{7Y/N2?tD `v{'9L={"iΡzU_@@@@@MnA}HHz'bnojA7=ֻzrsCi"O^eo-QGb8cD+.f`h`1 y[>fs_vׂ4[;ׁ ؞gAOn9bbn={ ?4 }.|^&yrT[pt9˱XVWlsgVayy*g{`9nZ\^g-Gl=TFށh=An:{fyW{~~$iۺD̉tz~},G/7]I&L/A{3>94R~aQ 3M#W\>Pލ]F^o/{sr@,Wc~B 8kDKx w J !}vrѝݬ:Fئmiȯ/MnL>8PA׈iN7҈jt41?{p&D\>'רѴ2zvvmHkD%%%*o%Y?niDABF# QiDxVQ /0 ,}}4,ӈ@#2|?,C}oUF#m@/OGyo|ιU_izQXw;Lx bhd,Y.?e}Q 4X/uX/Ya-(֋ziFndvU3333/f f f?b_CMicrosoft Office Document Image Writer 11.03.1897.00 2006:10:15 16:27:13  ! C! !(1612F1/!1((ࡱ> Root Entry̽LNdqrvorsQblcu4szKeiub3mf2g8̽L̽LCONTENTSprop2 # mX]0,Å :+0h08@T B prop2B prop3m32\spool\DRIVERS\ DICT| lC:\W WS\Sl\DRIVH W32X86\3\hVyOOh0@(08 NIRES.DLOh+'0`0prop3 AuvsxjatP0udblw1Aaq5eubr5h8̽L̽LCONTENTSpSummaryInformation(̽L̽LCONTENTS8@X Marcos77%%5%%7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777(5777%77%77777(5777%77%7777